Simulado 2006
1º Simulado - 2006 [PDF]
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Caros alunos
e visitantes,
Esta página é por nós construída com a intenção
de fornecer-lhes um maior suporte no estudo da Matemática, através
da proposição de desafios, divulgação de listas
de exercícios propostos e resolvidos, provas da 3ª série
do ensino médio, bem como provas de vestibulares das principais
universidades e faculdades do Brasil.
Oportunamente,
estaremos publicando também curiosidades do "mundo" da
Matemática, ciência tão presente quanto não
percebida na nossa vida cotidiana. Não
queremos que esta página do nosso site seja apenas um meio
de divulgação. É nossa intenção criar
aqui um espaço de intercâmbio, onde possamos trocar informações
e aprender juntos. Assim sendo, colocamo-nos à sua disposição
para esclarecimento de dúvidas e troca de conhecimentos.
Atenciosamente,
Profª.
Maria Antônia Gouveia.
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• BREVE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A
primeira comunidade de homens e mulheres que acrescentou à História
uma herança hoje reconhecida como intelectual foi a dos sumérios,
um povo que viveu na região onde hoje fica o Iraque, nos campos férteis
entre os rios Tigre e Eufrates, conhecida como Mesopotâmia. Intelectualidade
é aquela capacidade que só os homens tem de perceber coisas fora
do alcance dos cinco sentidos, o chamado pensamento abstrato. Os sumérios
foram os responsáveis por algumas abstrações notáveis,
que turbinaram a marcha da humanidade e influenciaram para sempre o modo como
as pessoas pensam, agem e se comunicam - dos babilônios e egípcios,
que vieram logo em seguida, até nós, aqui nesse mundinho, 50 séculos
depois.
Aos sumérios
se deve a invenção da cerveja. Muita gente diria que, se eles
não tivessem feito nada, só com isso já garantiriam seu
lugar no trem da história. E na janelinha. Mas eles fizeram. Entre outras
bagatelas, devem-se aos sumérios o conceito de que os homens foram criados
à margem dos deuses, a fabricação dos primeiros instrumentos
agrícolas, as tentativas iniciais de organização de cidades,
os rudimentos de cooperativismo e a fabricação do vidro. Uau!
Mas o auge da intelectualidade ainda estava por vir: os sumérios foram
a primeira civilização da Terra a registrar a própria história,
porque eles inventaram a palavra escrita.
Foi
deles, há 5 mil anos, a idéia de criar símbolos que pudessem
representar os sons vocais, através de uma escrita chamada cuneiforme.
O nome pode ser complicado, mas na prática era simples: marcas feitas
em tabletes úmidos de barro, que depois eram secados ao Sol. Os estiletes
de madeira usados para marcar os símbolos no barro tinham a ponta em
forma de cunha, ou, como se diz em eruditês, cuneiformes.
Hoje, pode parecer
que passar da palavra escrita à invenção dos algarismos
numéricos foi só um pulinho, quase uma consequência natural,
mas entre os dois fatos atravessamos um abismo de alguns séculos. Muita
gente pode não ter essa impressão, mas aprender a escrever é
muito, muito mais simples do que aprender a calcular. Tanto que, enquanto a
escrita se desenvolvia através de diferentes símbolos para diferentes
sílabas, as contagens continuavam a ser feitas com base no conceito 1,
um evento, igual a um risquinho, numa pedra, numa árvore ou num osso.
Muitas categorias
profissionais contribuíram para o avanço da ciência do cálculo
e uma delas foi a dos primitivos pastores. Durante séculos a fio, eles
foram repetindo uma mesma e modorrenta rotina, a de soltar seus rebanhos pela
manhã, para pastar em campo aberto, e de recolhê-los à tardinha,
para o confinamento noturno. Tudo na maior tranqüilidade, até que
um dia alguém chegou para um pastor e levantou a lebre (ou será
que foi a ovelha?).
- E como você
sabe se a quantidade de ovelhas que saiu foi a mesma que voltou?
Problema
seríssimo, de fato, e que foi solucionado rapidamente para os padrões
da época, ou seja, em menos de um milênio por um iluminado pastor
que resolveu a situação de maneira engenhosa: pela manhã,
ele fazia um montinho de pedras, colocando nele uma pedra para cada ovelha que
saía; e, à noite, retirava uma pedra para cada ovelha que voltava.
O número de ovelhas desgarradas correspondia à quantidade de pedras
sobrante. Mesmo sem saber, aquele pastor foi o primeiro ser humano a calcular.
Porque pedra, em latim, é calculus. Que, por isso, é também
a origem da expressão cálculo renal, pedra no rim. Que nada tem
a ver, nem com a Matemática, nem com o assunto deste site. Aí
está um belo nicho de negócios para uma nova pontocom: substituir
os velhos e ultrapassados cálculos renais por uma versão interativa
deste velho incômodo. Quem sabe uma aimeusrins.com.br?
- Mas calcular
era tão complicado assim?
Muito.
A primeira maneira que os seres humanos encontraram para mostrar a que quantidade
estavam se referindo foi o uso dos dedos das mãos. Hoje isso pode parecer
brincadeira, mas 5 mil anos atrás para contar até 20 eram necessários
dois homens, porque tinham que ser usadas quatro mãos. Demorou alguns
séculos até que caísse a ficha e alguém dissesse:
"Olha, pessoal, já acumulei o resultado de duas mãos e agora
vou continuar, voltando à primeira mão".
Através
dos tempos, as mãos foram sendo substituídas por equipamentos
mais sofisticados, mas a palavra em latim para dedo, digitus, sobrevive até
hoje, tanto na palavra dígito - um algarismo - quanto no verbo digitar
- escrever com os dedos (sendo que seu verbo gêmeo, datilografar, vem
da mesma palavra, só que grega - datilos). Os dez dedos são também
a origem do sistema numérico com base decimal.
Mas mostrar os
dedos era uma coisa e saber contar era outra. A maioria dos povos da idade dos
dedos sabia contar apenas até três; do quatro em diante a coisa
já entrava numa dimensão meio fantástica. Em praticamente
todos os idiomas, as palavras para os três primeiros algarismos se parecem,
porque todas elas derivam de uma língua antiqüíssima e já
extinta, o sânscrito: an, dve, dri. Já a noção
de quatro é tão posterior que cada povo desenvolveu sua própria
palavra para expressá-la: catvarah em sânscrito, tessares
em grego, quattour em latim, feower em inglês antigo.
- Quando a humanidade
começou a fazer contas?
Há
cerca de quatro mil anos. Foi quando os mercadores da Mesopotâmia desenvolveram
o primeiro sistema científico para contar e acumular grandes quantias.
Primeiro, eles faziam um sulco na areia e iam colocando neles sementes secas
(ou contas) até chegar a dez. Aí, faziam um segundo sulco, onde
colocavam uma só conta - que equivalia a dez -, esvaziavam o primeiro
sulco e iam repetindo a operação: cada dez contas no primeiro
sulco valia uma conta no segundo sulco. Quando o segundo sulco completava dez
contas, um terceiro sulco era feito e nele era colocada uma conta que equivalia
a 100. Assim uma enorme quantia como 732 só precisava de 12 continhas
para ser expressa. Essa engenhosidade deu origem à palavra contar - a
partir das primitivas contas que enchiam os sulcos.
Excluindo-se o
conceiro abstrato de zero - isto é, da ausência de quantidades
- que só apareceu 600 anos atrás, na Índia, as continhas
secas satisfizeram a humanidade por alguns milênios. Mas, conhecendo os
seres humanos como nós conhecemos, não é difícil
imaginar que junto com a conta, tenha surgido também o erro de conta,
inconsciente ou proposital. O conceito errar é humano deve ser tão
antigo quanto a preocupação de inventar algum aparelho para auxiliar
a contagem e diminuir a margem de erro. Apesar da fama dos árabes e dos
chineses, a contribuição mais importante para a abstração
da Matemática foi um trabalho dos hindus. Sem eles não haveria
o zero e, portanto, toda a base de abstração que, junto com o
1, deu origem a tudo que conhecemos hoje como ciências matemáticas.
A
primeira tentativa bem-sucedida de criar uma máquina de contar foi o
ábaco. O nome tem origem numa palavra hebraica abaq (pó),
em memória a antiqüíssimos tabletes de pedra, aspergidos
com areia, onde os antigos mestres desenhavam figuras com os dedos para ensinar
seus discípulos.
Os inventores do
ábaco de calcular, aparentemente, foram os chineses, que deram ao aparelhinho
o nome de suan pan. Mas há controvérsias: os japoneses também
reivindicaram a invenção - no Japão chama-se soroban -,
para não falar dos russos: o deles é conhecido como tschoty. Feito
com fios verticais paralelos pelos quais seus operadores podiam fazer deslizar
sementes secas, o ábaco chinês era incrivelmente eficiente. E rápido:
um operador com prática podia, por exemplo, multiplicar dois números
de cinco algarismos cada um com a mesma velocidade com que uma pessoa hoje faria
a mesma conta numa calculadora digital. Quase 3 mil anos depois de ter sido
inventado, o ábaco ainda é usado por pequenos comerciantes em
muitas regiões da Ásia.
- Quando surgiram
os algarismos atuais?
1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...
Essa sequência que conhecemos hoje por algarismos arábicos tem
pouco mais de mil anos. A bem verdade, os algarismos arábicos não
são arábicos: foram criados pelos hindus. Os árabes ficaram
com a fama porque foi através deles que os números escritos se
espalharam pelo mundo. A própria palavra algarismo é uma homenagem
a um renomado matemático do século 9d.C., al-Huarismi.
Os algarismos arábicos
foram trazidos da Índia para o Ocidente por volta do ano 770 da era cristã,
mas não foram adotados de imediato, porque outros povos já estavam
acostumados com suas próprias maneiras de representar os numerais, por
mais complicadas que elas parecessem. As duas principais correntes eram as formas
romana e grega. Que na verdade nem eram algarismos numéricos,
mas letras que assumiam funções de números.
O número
323, por exemplo, era escrito da seguinte forma:
Em algarismos romanos:
CCCXXIII
Em algarismos gregos: HHHAEAEIII
- Mas os romanos
não se atrapalhavam na hora de somar C com X?
Pelo jeito, não.
Quem se acostuma com um sistema, só enxerga complicação
no sistema dos outros. Ainda nos dias de hoje, a gente fica se perguntando:
Não seria mais fácil raciocinar em metros do que em pés?
Entender o peso em quilos não seria mais simples do que pesar em onças?
Não é mais fácil visualizar 8 milímetros do que
1/32 de polegada? Não senhor, é tudo uma questão de costume.
Como somos um povo que mede seu grau de aquecimento específico, inclusive
da cerveja, com graus centígrados, achamos que o sistema de Fahrenheit
é coisa de doido, a começar pelo nome; depois porque para transformá-lo
em graus centígrados é preciso subtrair 32, dividir por 9 e multiplicar
por 5. Mas quem usa o sistema de Fahrenheit, e quem bebe cerveja quente, tem
que fazer o processo inverso para chegar aos graus centígrados: dividir
por 5, multiplicar por 9 e somar 32. Logo, eles acham que os complicados somos
nós, porque para eles é tudo muito simples: 95 graus é
quente pra burro e 35 graus é frio de rachar.
O
que fez com que os algarismos arábicos se tornassem o padrão numérico
mundial não foi sua simplicidade, foi o poderio militar dos árabes.
Durante dois milênios, até 1432, enquanto o Império Romano
dominou o mundo, os dominados não se cansavam de elogiar a beleza e a
eficiência dos algarismos romanos. Foi somente com a queda de Roma e a
ascensão dos turcos ortomanos (mais de 700 anos depois de os algarismos
arábicos chegarem à Europa e menos de 100 anos antes do Brasil
ser descoberto) que os algarismos arábicos foram, assim dizendo, globalizados.
Por pressão, não por precisão. Como sempre, a verdade não
é exatamente um conceito, mas um atributo dos vencedores. Napoleão
deu ao mundo uma belíssima aula sobre os limites da razão e as
razões do poder, ao mandar esculpir em seus canhões a seguinte
expressão latina: ultima ratio Regis, ou seja, a última razão
do Rei. Mas está faltando alguém muito importante nessa história.
Sabe quem? A vaca.
Com a socialização
dos numerais, a coisa foi ficando cada vez mais sofisticada: da palavra grega
para número, arithmos, veio a Aritmética. Conceitos muito simples
foram sendo ampliados e viraram ciência, como a Trigonometria, que antigamente
era só uma continha para medir os lados de um triângulo: trigon,
em grego, quer dizer três cantos. E mesmo termos que antes não
tinham nada a ver com números foram sendo adaptados à numerologia:
do árabe al-jabr, consertar ossos fraturados, derivou Álgebra.
A
palavra capital, tão importante para a história moderna
de nosso bizarro planeta, tem origem na forma primitiva de contar bens e valores:
a cabeça de uma rês, ou, em latim, capita. Quanto mais vacas alguém
amealhava, melhor era sua posição na sua comunidade. Curiosamente
esta palavra está ligada hoje ao conceito de riqueza, de centro do pensamento,
de cidade mais importante, além de umas coisas mais prosaicas, como decapitar,
perder a cabeça, encabeçar. Afinal, o que temos de tão
importante nessas nossas cabeças?
À medida
que o homem abandonava as contas e os cálculos primitivos e se aventurava
em conceitos mais complexos, o que era uma tecnologia baseada apenas em extensões
do corpo - dedos e cabeças - foi exigindo ténicas mais apuradas.
A situação
chegou a tal refinamento que extrair uma raiz quadrada começou a levar
mais tempo do que extrair um dente. E ambas eram experiências bastante
dolorosas. Estava mais do que na hora de alguém começar a pensar
em alguma coisa para amenizar o sofrimento.
E, pode apostar:
com o tempo alguém acabou pensando...